太陽盈縮平立定三差的來源冬至前后是太陽運行速度減速結(jié)束加速開始的象限,到春分共八十八日九十一刻,取整數(shù)。
切分為六段,每段各有十四日八十二刻。
取整數(shù)。
各段實測到的太陽運行度數(shù),與平均速度相減,余數(shù)就是積差。
將各段的累積差敷,除以各段的累積日敷,就是各段的日平均差。
將各段的日平均差,輿后一段的日平均差相減,就是一差。
將一差輿后一段的一差相減,就是二差。
將第一殷的日平差四百七十六分二十五秒作為泛平積。
將第一段的一差三十八分四十五秒,減去第二段的二差一分三十八秒,余三十七分o七秒,就是泛平積差。
另將第一段的二差一分三十八秒折半,得六十九秒,就是泛立積差。
將泛平積差三十七分o七秒,加上泛平積四百七十六分二十五秒,共得五百一十三分三十二秒,就是定差。
將泛平積差三十七分O七秒,減泛立積差六十九秒,余三十六分三十八秒作為被除數(shù),用每段日數(shù)十四日八十二刻為除數(shù)與之相除,得二分四十六秒,就是平差。
以泛立積差六十九秒作為被除數(shù),用每段日敷作為除數(shù)與之相除二次,得三十一微,就是立差。
夏至前后是太陽運行速度加速結(jié)束速減速開始的象限,到秋分共九十三日七十一刻,取整數(shù)。
切分為六段,每段各有十五日六十二刻。
取整數(shù)。
各段實測到的太陽運行度數(shù),與平均速度相減,余數(shù)就是積差。
推算日平差、一差、二差的方法,與減速結(jié)束加速開始的象限相同。
將第一段的日平差四百五十一分九十二秒作為泛平積。
將第一段的一差三十六分四十七秒,減去第一段的二差一分三十三秒,余三十五分十四秒,就是泛平積差。
另將第一段二差一分三十三秒折半,得六十六秒五十微,就是泛立積差。
將泛平積差三十五分十四秒,加上泛平積四百五十一分九十二秒,共四百八十七分O六秒,就是定差。
將泛平差三十五分十四秒,減去泛立積差六十六秒五十微,余三十四分四十七秒五十微作為被除數(shù),用每段日敷十五日六二作除敷與之相除,得二分二十一秒,就是平差。
將泛立積差六十六秒五十微作為被除數(shù),用每段的日敷作為除數(shù)輿之相除二次,得二十七微,就是立差。
凡是求太陽運行度敷的增減,用所求時段的始末日數(shù)乘以立差,得數(shù)再加平差,再乘始末日數(shù),得敷再減定差,余數(shù)再乘以始末日敷,就是增減的度敷的累積數(shù)。
太陽運行速度超過平均敷的時段以八十八日九O九二二五運行一個象限,低于平均敷的時候以九十三日七一二o二五運行一個象限。
在此象限以下焉初,在象限以上逆推減去半年剩下的是末。
盈初是從冬至往后順推,縮末是從冬至往前逆推,它們距冬至的距離相同。
所以盈積的度敷相同。
縮初是從夏至往后順推,盈末是從夏至往前逆推,它們距夏至的距離相同,所以縮減的度數(shù)相同。
盈縮招差,本來是一種象限的推算方法。
如太陽運行速度超過平均敷的時段,以八十八日九十一刻為一個象限,低于平均敷的時段,則以九十三日七十一刻為一個象限。
現(xiàn)在只作九個象限,是舉此作為例子。
圖中九行格子中的定差本敷,是被減數(shù)。
斜線似上的平差立差敷,是減敷。
斜殘以下格子中的定差,是減后的余敷。
假如定差為一萬,平差為一百,立差為一。
現(xiàn)在求第九象限的方法是,以象限敷九乘定差得九萬作為被減數(shù)。
另外用平差,以九乘兩次,得八千一百。
將立差用九乘三次,得七百二十九。
兩敷相加得八千八百二十九作為減數(shù)。
將被減數(shù)和減數(shù)相減,余數(shù)焉八萬一千一百七十一,就是第九象限的累積數(shù)。
另外一種方法是,以九乘平差得九百,又以九乘立差兩次得八十一,合并兩數(shù)得九百八十一作為減數(shù),定差一萬作為減數(shù),兩數(shù)相減,余九千零一十九,就是第九象限末位所寫的定差。
遭時再以九乘余數(shù),得八萬一千一百七十一,就是第九象限的累積數(shù),與前一種方法的得敷相同。
只是前一種方法是先乘后減,后一種是先減后乘,其道理是一樣的。
按:《授時歷》對于日月五星運行度數(shù)的增減,都是用垛積招差的方法來計算,這種方法巧妙地與天體的運行相合,與西方人用小輪推算的方法,殊途同歸。
然而傳世的各種算術(shù)書,都沒有記載這種方法,《歷草》記載了這種方法,但沒有談它的道理。
宣城梅文鼎為此作了圖解,對于平差、立差的道理,垛積的方法,都有解說闡明其所以然。
有專書流行于世,不能詳細抄錄,只是摘錄了《招差圖說》,以說明他創(chuàng)立這種方法的大意而已。
凡是推算敷據(jù)衰盈初縮末:將立差三十一微,乘以六,得一秒八十六微,就是加分立差。
將平差二分四十六秒,加倍,得四分九十二秒,加入加分立差,得四分九十三秒八十六微,就是平立合差。
將定差五百一十三分三十二秒,減平差二分四十六秒,再堿立差三十一微,剩五百一十分八十五秒六十九微,就是加分。
縮初盈末:將立差二十七微,乘以六,得一秒六十二微,就是加分立差。
將平差二分二十一秒,加倍,得四分四十二秒,加入加分立差,得四分四十三秒六十二微,就是平立合差。
將定差四百八十七分零六秒,減平差二分二十一秒,再減立差二十七微,余四百八十四分八十四秒七十三微,就是加分。
以上所推算的,都是象限第一天的數(shù)據(jù)。
推算次日,都以加分立差,加平立合差,就是次日的平立合差。
以平立合差減這一日的加分,就是次日的加分。
盈積和縮減都相同。
將加分累計,就是盈積和縮減的累計數(shù),其敷據(jù)都見于數(shù)據(jù)表。
月亮運行快慢平立定三差的來源月亮運行一周焉二十七日五十五刻四六,測量分焉四象,每象各分七段,四象二十八段,每段十二限,每象八十四限,共三百三十六限,而四象合為一周。
以四象作為除數(shù),輿旋轉(zhuǎn)一周的日敷相除,每象得六日八八八六五,再分為七段,每段下實測月亮運行快慢的數(shù)據(jù),再與平均速度相減,以求積差。
以各段的積差作為被除數(shù),以各段的積限作為除數(shù)與之相除,就是各段、限的平均差。
將各段、限的平均差,與后段相減就是一差。
將一差與后段一差相減就是二差。
將第一段的限平差十分七二六作為泛平積。
將第一段一差四十七秒七六,減第一段二差九秒三六,余三十八秒四十微,就是泛平積差。
另外將第一段的二差九秒三十六微折半,得四秒六十八微,就是泛立積差。
以泛平積差三十八秒四十微,加泛平積十分七二六,得十一分一十一秒,就是定差。
將泛平積差三十八秒四十微,減泛立積差四秒六十八微,余三十三秒七十二微作為被除數(shù),以十二限作為除數(shù)與之相除,得二秒八十一微,就是平差。
將泛立積差四秒六十八微作為被除數(shù),以十二限作為除數(shù),除二次,得三微二十五纖,就是立差。
凡是求月亮運行快慢,都以所求時段的起始日數(shù)乘每日十二限二十分,以在第八十四限以下馬初,在此以上逆推減去一百六十八限的余數(shù)為末。
各根據(jù)初、末的限乘立差,得敷再加平差,再乘以初、末的限敷,得數(shù)再藏定差,余數(shù)再乘以初、末限敷,就是快慢的累積敷。
其初限是從最慢最快處順推至后,末限是從最慢最快處逆推至前,它們輿最慢最快處的距離相同,所縱盈積的度數(shù)也相同。
月亮和太陽設立的方法相同,但太陽以定氣確定象限,所以盈積和縮減的敷量不同。
月亮以平均速度確定象限,所以快慢原理相同。
推算數(shù)據(jù)表的方法:將立差三微二十五纖,乘以六,得十九微五十纖,就是損益立差。
將平差二秒八十一微,加倍,得五秒六十二微,再加損益立差十九微五十纖,共得五秒八十一纖,就是初限平立合差。
從這里開始逐次加上損益立差,就是每限的平立合差。
到第八十限之下,累積至二十一秒四一五,就是平立合差的最大值。
八十一限之下平立合差為一秒七八o九,八十二限之下平立合差焉一秒七八O八,到八十三限之下,平立合差將益分即增益數(shù)和損分即減損數(shù)從中分開,是益分的終結(jié)。
八十四限之下的平立合差,也將損分和益分從中分開,是損分的開始。
到八十六限下的平立合差,也是二十一秒四一五,從這里開始逐次減去損益立差,則每限的平立合差,到末限與初限相同。
將定差十一分十一秒,減去平差二秒八十一微,再減去立差三微二十五纖,余十一分零八秒十五微七十五纖,就是加分定差,也就是初限的損益分。
將損益分與逭一限的平立合差相加或相減,就是下一限的損益分。
將益分累加,損分累減,就是這一限下的遲疾度。
以八百二十分為一限的日率,累加八百二十分就是每限的日率。
以上都詳見敷據(jù)表。
凡是五星都各自依據(jù)實際測量,將它們的運行度敷分焉八殷,來推求積差,大致和太陽月亮的方法一樣。
將各段所測到的積差敷作為被除數(shù),以每段的日數(shù)作為除數(shù)與之相除,就是泛平差。
以各段的泛平差輿下一段的泛平差相減,就是泛平較。
又以泛平較輿下一段的泛平較相減,就是泛立較。
將第一段的泛平較三十九秒一六二一,減這一段的泛立較六秒二四二一,余三十二秒九一九九,就是初段的平立較。
加上初段的泛平差十分五六七八零一,共得十分八十九秒七十微,就是定差。
秒設置在葛位。
將初段平立較差三十二秒九一九九,減泛立較的一半三秒一二一一,余二十九秒七九八八,除縱該段日敷十一日五十刻,得二秒五十九微十二纖,就是平差。
將泛立差的一半三秒一二一一,以該段日敷作為除數(shù)輿之相除兩次,得二微三十六纖,就是立差。
以上是木星平立定三差的來源。
火星盈初縮末立差相減,平差相減。
泛平較前多后少,應加上泛立較。
將初段的泛平較六分一三九八四七二九六八七五,加泛立較十三秒一九七九二一八七五,得六分二七一八六五一五六二五,就是初日的下平立較。
將初段的泛平差八十二分二十秒六五七三四八四三七五,加初日的下平立較六分二七一八二六五一五六二五,得八十八分四十七秒八十四微,就是定差。
將初日的下平立較六分二七一八二六五一五六二五,加泛立較的一半六秒五九八九六o九三七五,得六分三三七八一六一二五作為被除數(shù),以該段的日敷相除,得八十三秒十一微八十九纖,就是平差。
將泛立較的一半六秒五九八九六o九三七五,用該段日敷七日六十二刻五十分作為除數(shù)除兩次,得十一微三十五纖,就是立差。
火星縮初盈末平差負誠,立差相減。
取比較均勻的泛立較三十九秒五八二一三七五,減去一段的泛平較十三秒二六四八三一二五,余二十六秒三一七三零六二五就是減得的差敷,再加一段的泛平差二十九分七一三一二六九三七五,得二十九分九十七秒六十三微,就是定差。
將減得的差數(shù)二十六秒三一七三零六二五,用該段的日敷十五日二十五刻相除,得一秒七二五七二五。
再將泛立較的一半十九秒七九一零六八七五,用該日數(shù)相除,得一秒二九七七t五。
兩敷相加得三秒零二微三十五纖,就是乎差。
將泛立較的一半十九秒七九一零六八七五,用該段日敷十五日二五作除數(shù)除二次,得八微五十一纖,就是立差。
以上是火星平立定三差的來源。
土星盈歷立差相加,平差相減。
將第一段的泛平較,減同段的泛立較,余五十秒九一七九七五,就是平立較。
用平立較,加本段泛平差,得十五分十四秒六十一微,就是定差。
將平立較,減泛立較的一半三秒七四二六七五,余四十七秒一七五三,再用本段日敷十一日五十刻相除,得四秒一十微二十二纖,就是平差。
將泛立較的一半,用本段的日敷除二次,得二微八十三纖,就是立差。
土星縮歷立差相加,平差相減。
將第一段的泛平較,減同段的泛立較,余二十一秒七七二三七五,就是平立較。
用平立較加本段泛平差,得十一分o一秒七十五微,就是定差。
將平立較,減泛立較的一半四秒三七七四七五,余十七秒三九四九,用本段日數(shù)十一日五十刻作為除數(shù)相除,得一秒五十一微二十六纖,就是平差。
將泛立較的一半,用本段日數(shù)怍為除數(shù)除二次,得三微三十一纖,就是立差。
以上是土星平立定三差的來源。
將第一段的泛平較,與本段泛立較相減,余一秒八六八一七五就是平立較,再加泛平差,得三分五十一秒五十五微,就是定差。
將平立較與泛立較的一半一秒八六四七二五相減,余三十四纖,再以本段日敷十一日五十刻作為除數(shù)與之相除,得三纖,就是平差。
將泛立較的一半,用本段日數(shù)作為除數(shù)與之相除二次,得一微四十一纖,就是立差。
以上是金星平立定三差的來源。
水星立差相加,平差相減。
方法與金星相同,求得定差三分八十七秒九十微,平差二十一微六十五纖,立差一微四十一纖。
以上是水星平立定三差的來源。
以上五星,都以立差作為末端,以平差作為根本,以定差作為總括。
五星各自根據(jù)段次取得立差,木土金水四星加上平差,只有火星堿去平差,各自根據(jù)日數(shù)的積累而得到積差,五星都城去定差,又各以積日相乘,得到各自寅測的度數(shù)。
五星的積日,都用比率,除以一周天的日敷得三百六十五度二十五分又四分之三。
各以周天度數(shù)的四分之一焉一象限,只有火星用象限的三分之一,與一象限相減焉盈初縮末限,加一象限為縮初盈末限。
之所以將度稱為日,是為了各自取盈縮歷乘除的方便,實際上積得的北極出地度即北緯四十度九十五分作為半弧背,用前述的割圓弧矢法,推得出地半弧弦為三十九度二十六分,這就是大三斜中股。
將測到的冬至夏至時的黃道赤道內(nèi)外度二十三度九十分為半弧背,用前述的方法推算出內(nèi)外半弧弦為二十三度七十一分。
又是黃道赤道大勾,又是小三斜弦。
將內(nèi)外半弧弦自乘作為勾的冪,天圓半徑自乘作為弦的冪,二冪相減,余數(shù)開方就得到股。
又用半徑減股,余四度八十一分,就是冬至夏至出入矢,也是黃道赤道內(nèi)外矢。
以夏至日太陽南至地平的七十四度二十六分半作為半弧背,求得太陽下至地平的半弧弦五十八度四十五分。
半徑六十度八十七分半,是大三斜中弦。
將大三斜中股三十九度二十六分,乘以冬至夏至內(nèi)外半弧弦二十三度七十一分作為被除數(shù),用半徑六十度八十七分半作為除數(shù)與之相除,得十五度二十九分,就是小三斜中股。
又是小股。
以小三斜中股十五股二十九分,被太陽下至地平半弧弦五十八度四十五減去,余四十三度十六分,就是大股。
以出入矢四庋八十一分,被半徑六十度八十七分半減去,余五十六度o六分半,就是大股弦。
將大股弦乘以小股十五度二九作為被除數(shù),用大股四十三度一六作為除數(shù)輿之相除,得十九度八十七分作為小弦,也就是冬至夏至出入差半弧弦。
根據(jù)冬至夏至出入差半弧弦,按法則求得冬至夏至出入差半弧背為十九度九十六分十四秒。
將冬至夏至出入差半弧背十九度九六一四,用冬至夏至黃道赤道內(nèi)外半弧弦二十三度七十一分與之相除,得八十四分十九秒,就是度差分。
求黃道每度晝夜的時刻。
方法是:將所求的每度黃道赤道內(nèi)外半弧弦,用冬至夏至出入差半弧背與之相乘作為被除數(shù),用冬至夏至黃道赤道內(nèi)外半弧弦作為被除數(shù)與之相除,就是每度出入差的半弧背。
另一種方法是:將黃道赤道內(nèi)外半弧弦,用度差八十四分一十九秒與之相乘,也得到出入差半弧背。
在半徑內(nèi)減黃道赤道內(nèi)外矢,即赤道二弦差,秋分晝夜五十刻誠去它,得四十一刻七十二分半,就是白畫的時刻。
以加倍所得的時刻加五十刻,得五十八刻二十七分半,就是夜晚的時刻。
白晝減,所以夜晚加,其余的與此相仿。
敷,也就是度數(shù)。
求冬至夏至差股及出入差。
方法是:將所測以上《歷草》所記載的晝夜時刻,是大都即燕京的晷影漏刻。
夏天白晝、冬天夜晚最長是六十一刻八十四分,冬天白晝、夏天夜晚最短是三十八刻十六分。
明遷都到燕京以后,不知道遵循沿用。
只是在正統(tǒng)己巳年奏準頒布歷法用六十一刻,而受到群起非難。
景泰初年仍然恢復使用南京的時刻,到明代結(jié)束也役能改正。